hypergeometriske funktioner

Hypergeometriske funktioner betegner en gruppe af matematiske funktioner, der generaliserer den geometriske række \(1+x+x^2+x^3+...\). C.F. Gauss brugte 1812 betegnelsen hypergeometrisk om rækken \[_2F_1(a,b;c;z) \sum^\infty_{k=0} \frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k} \frac{z^k}{k!},\]hvor faktorerne er opstigende faktorieller defineret som \[(a)_k = a(a+1)\dots(a+k-1).\]

Han viste, at næsten alle kendte funktioner kunne skrives på denne form. For \(|z|<1\) fremstiller rækken en holomorf funktion, der kan fortsættes til den komplekse plan, evt. på nær en del af den positive reelle akse, \([1, \infty[\). E. Kummer viste 1836, at disse funktioner er løsninger til den hypergeometriske differentialligning, \[z(1-z)\frac{\partial^2 y}{\partial z^2}+(c-(1+a+b)z)\frac{\partial y}{\partial z}-aby = 0.\]

De generaliserede hypergeometriske funktioner defineres ved \[\begin{align*}_pF_q(a_1, a_2,...,a_p;b_1,b_2,...,b_q;z) =&\\ \sum^\infty_{k=0} \frac{(a_1)_k(a_2)_k \dots (a_p)_k}{(b_1)_k(b_2)_k\dots(b_q)_k}\frac{z^k}{k!},&\end{align*}\] og løser en differentialligning af højere orden.