harmonisk analyse

Harmonisk analyse betegner en matematisk teori om funktioner defineret på en gruppe \(G\), idet hovedsynspunktet er at udtrykke en funktion som en uendelig række eller et integral ved hjælp af en klasse simple funktioner, der naturligt er knyttet til strukturen af gruppen \(G\). Man skelner mellem kommutativ og ikke-kommutativ harmonisk analyse, eftersom gruppen \(G\) er kommutativ eller ej.

Fourieranalyse udgør kernen i den kommutative harmoniske analyse, som fik en velafrundet udformning ca. 1940 via arbejder af L.S. Pontrjagin (1908-1988) og A. Weil. De simple funktioner er gruppekaraktererne, dvs. homomorfierne af \(G\) ind i cirkelgruppen \(T\) af komplekse tal med numerisk værdi \(1\). Da funktioner på cirkelgruppen kan opfattes som periodiske, fører harmonisk analyse på cirkelgruppen til teorien om Fourierrækker. Tilsvarende er teorien om Fourierintegraler harmonisk analyse på de reelle tals additive gruppe.

For ikke-kommutative grupper er de simple funktioner knyttet til de irreducible repræsentationer af gruppen. F.G. Frobenius (1849-1917) opnåede fundamentale resultater om endelige grupper ca. 1900. Der er siden opnået dybtliggende resultater om forskellige klasser af uendelige grupper, for kompakte grupper af H. Weyl og for semisimple Lie-grupper af Harish-Chandra. Emnet er stadig under udvikling og af stor betydning for teoretisk fysik.