Grænseværdi er et fundamentalt matematisk begreb. Man siger, at en talfølge \(x_1,x_2,...,x_n,...\) har grænseværdien \(x\), hvis tallet \(x_n\) er vilkårligt tæt på \(x\), blot tallets nummer \(n\) er tilstrækkelig højt. Dette skrives sædvanligvis \(\lim_{n\rightarrow \infty} x_n = x\) under brug af det latinske ord limes 'grænse'; således er \(\lim_{n\rightarrow \infty} 1/n = 0\). Tilsvarende siger man, at en reel funktion \(y = f(x)\) af en reel variabel har grænseværdien \(b\) for \(x\) gående mod \(a\), \(\lim_{x \rightarrow a} f(x) = b\), hvis funktionsværdien \(f(x)\) er vilkårligt tæt på \(b\), blot den variable \(x\) er tilstrækkelig tæt på \(a\); for eksempel er \(\lim_{x\rightarrow 0} \sin (x) /x = 1\).

Begrebet grænseværdi er centralt for forståelse af kontinuitet og differentiabilitet og dermed for en stringent fremstilling af den matematiske analyse. En sådan blev først givet i sidste halvdel af 1800-tallet af bl.a. K. Weierstrass, der formulerede definitionen på grænseværdi på følgende måde: For hvert \(\epsilon > 0\) findes \(\delta >0\) så der for \( \vert x-a\vert<\delta\) gælder \(\vert f(x) – b\vert \epsilon \).

Et mere alment grænseværdibegreb er udviklet i begyndelsen af 1900-tallet inden for rammerne af metriske rum og mængdetopologi.

Kommentarer (2)

skrev Morten Bo Johansen

større-end-tegnet, '>'', og mindre-end-tegnet, '<', vises ikke korrekt i min browser.
Det ser ud til at der sker noget fikumdik mellem CMS-systemets opmærkning og den html-opmærkning, som giver visningen i browseren

svarede Marie Bilde

Kære Morten Bo Johansen
Tak for din observation. Vi har ændret opmærkningen, så artiklen gerne skulle vises rigtigt nu.
Venlig hilsen
Marie Bilde,
redaktionssekretær

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig