gammafunktionen

Gammafunktionen er en matematisk funktion, der spiller en betydelig rolle i bl.a. den matematiske statistik. Den blev indført af Leonhard Euler i 1729 som en funktion af en reel variabel, \(x>0\), ved definitionen:\[\Gamma (x) = \int^\infty_0 e^{-t} t^{x-1} dt.\]Gammafunktionen udvider fakultetsfunktionen (se fakultet), idet den opfylder \(\Gamma (n) = (n-1)!\) for de naturlige tal, \(n=1,2,3,...\), og tilfredsstiller samme funktionalligning som fakultetsfunktionen for alle \(x\), nemlig \(\Gamma (x+1) = x \Gamma (x)\). I 1922 karakteriserede Harald Bohr og Johannes Mollerup gammafunktionen ved dens funktionalligning, at den har værdien \(1\) for \(x=1\), samt den egenskab, at den er logaritmisk konveks, dvs. at funktionen \(\log \Gamma\) er konveks. I kompleks analyse kan gammafunktionen udvides til en meromorf funktion med simple poler i \(0,-1,-2,...\).