Taylors formel er en matematisk formel for en funktions tilvækst udtrykt ved dens differentialkvotienter. Formlen kan skrives\[f(a+h) = f(a) +hf'(a)+\frac{h^2}{2!}f''(a)+\dots.\]

Faktaboks

Taylor publicerede den i 1715, men lignende resultater var kendt af bl.a. Leibniz og Johann Bernoulli. Ingen af dem diskuterede konvergensen af den uendelige række, som nu kaldes funktionens Taylorrække i punktet \(a\). I en moderne fremstilling viser man, at hvis \(f\) er \(n\) gange differentiabel på et interval \(I\), og hvis \(a,a+h \in I\), så gælder \(f(a+h) = P_n(h)+R_n(h)\) hvor \(P_n\) er et polynomium af grad \(\leq n-1\) i \(h\), nemlig summen af Taylorrækkens \(n\) første led, og \(R_n\) er et restled, der kan angives på forskellig måde. Lagrange viste i 1797, at der findes et tal \(t \in ]0, 1[\) så \[R_n(h) = \frac{h^n}{n!} f^{(n)}(a+th).\] For \(n=1\) reduceres Taylors formel med Lagranges restled til middelværdisætningen. Polynomiet \(P_n\) kaldes Taylorpolynomiet af grad \(n-1\) og er det entydigt bestemte polynomium \(p\) af grad \(\leq n-1\), som opfylder \(p^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)\) for \( k = 0,1,...,n-1\) (se interpolation).

Hvis funktionen er vilkårligt ofte differentiabel, og hvis restleddet konvergerer mod \(0\), når \(n\) går mod uendelig, så gælder Taylors formel.

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig