Riemanns zetafunktion betegner funktionen \[\zeta(z) = \sum^\infty_{n=1} \frac{1}{n^z},\]

Faktaboks

defineret for tal \(z>1\) eller mere almindeligt for komplekse tal \(z=x+iy\) med realdel \(x>1\). Studiet af funktionen går tilbage til L. Euler, der viste produktfremstillingen \[\frac{1}{\zeta(z)} = \left(1-\frac{1}{2^z}\right)\left(1-\frac{1}{3^z}\right)\left(1-\frac{1}{5^z}\right)\dots,\] hvor der optræder en faktor for hvert primtal. Funktionen er et vigtigt hjælpemiddel i teorien for fordelingen af primtal, og Euler benyttede den til at vise, at summen af de reciprokke primtal er uendelig. Euler fandt også zetafunktionens værdier i de lige tal, fx \(\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}, \ \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}\); i den almene formel indgår Bernoulli-tallene.

Riemann beviste i en berømt afhandling fra 1859, at zetafunktionen kan fortsættes analytisk til en meromorf funktion i hele den komplekse plan med en simpel pol i \(z=1\). Riemanns formodning fra samme afhandling går ud på, at nulpunkterne \(z=x+iy\) for zetafunktionen i den højre halvplan \(x\geq 0\) alle ligger på linjen \(x = \frac{1}{2}\). Efter Riemanns død har bidrag fra en række matematikere gjort formodningen overordentlig sandsynlig, og den betragtes som matematikkens berømteste uløste problem, efter at Fermats store sætning er bevist.

Kommentarer

Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.

Du skal være logget ind for at kommentere.

eller registrer dig