Laplaces differentialligning

Laplaces differentialligning (Laplace-ligningen), partiel differentialligning af formen \(\Delta u = 0 \), hvor \(\Delta\) er den \(n\)-dimensionale Laplace-operator. Ligningen har utallige anvendelser inden for bl.a. fysikken. Løsninger til ligningen i en åben delmængde \(\Omega\) af talrummet \(\mathbb{R}^n\) kaldes harmoniske funktioner.

I Dirichlets problem søger man en harmonisk funktion \(u\), som er lig med en given funktion på randen af \(\Omega\). For begrænsede områder \(\Omega\) med regulær rand og en kontinuert randfunktion vil Dirichlets problem have en entydig løsning.