Enhver funktion \(f\) af formen \((1)\) er periodisk med periode \(L\), dvs. \(f(x+L) = f(x)\) for alle \(x\) tilhørende de reelle tal. I det følgende foretages en normering, så \(p=1\), dvs. \(L=2\pi\). Fra et matematisk synspunkt vil en tone kunne indeholde uendelig mange overtoner, svarende til at \(N\) kan blive vilkårlig stor. Fourier forsøgte at fremstille en vilkårlig reel periodisk funktion \(f\) som en sum \((1)\) med uendelig mange led. Idet additionsformlen for sinus medfører, at \(r_n\sin(nx-q_n)\) kan omskrives til \(a_n \cos nx+b_n\sin nx\), søger man altså at fremstille \(f\) som \[f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum^\infty_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx), \]
som kaldes Fourierrækken for \(f\). Man kan vise, at Fourierkoefficienterne \(a_n, b_n\) skal vælges ved formlerne \[a_n = \frac{1}{\pi} \int^{2\pi}_0 f(x) \cos nx dx \hspace{4 cm} (2)\] \[b_n = \frac{1}{\pi} \int^{2\pi}_0 f(x) \sin nx dx. \hspace{3.96485 cm} (3)\]
Fourier hævdede, at enhver periodisk funktion kan fremstilles ved sin Fourierrække. En vigtig opgave i matematikken har været at præcisere, under hvilke omstændigheder Fouriers udsagn er rigtigt. Det er naturligvis nødvendigt at forudsætte, at funktionen \(f\) har sådanne egenskaber, at integralerne \((2)\) og \((3)\) har mening. P.L. Dirichlet gav i 1829 som den første et bevis for rigtigheden, når \(f\) er kontinuert og stykkevis monoton. På den anden side gav P. Du Bois-Reymond i 1873 et eksempel på en kontinuert funktion, hvis Fourierrække divergerer i et punkt \(x\). Først i 1966 lykkedes det L. Carleson at vise, at Fourierrækken for en kontinuert funktion konvergerer mod \(f(x)\) næsten overalt, dvs. bortset fra \(x\) i en lille undtagelsesmængde (af Lebesgue-mål \(0\)).
Ved Eulers formler kan Fourierrækken omskrives til en række af formen \[f(x) = \sum^\infty_{n=-\infty} c_n e^{inx}, \hspace{5.35 cm} (4)\] hvor \[c_n = \frac{1}{2\pi} \int^{2\pi}_0 f(x) e^{inx} dx. \hspace{3.96485 cm} (5)\]
Fourierkoefficienterne opfylder Bessels ulighed \[\sum^n_{k=-n} |c_k|^2 \leq \frac{1}{2\pi} \int^{2\pi}_0 |f(x)|^2 dx,\] og hvis summen udstrækkes fra \(-\infty\) til \(\infty\), gælder lighedstegn (Parsevals formel).
Kommentarer
Kommentarer til artiklen bliver synlige for alle. Undlad at skrive følsomme oplysninger, for eksempel sundhedsoplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer, når de kan.
Du skal være logget ind for at kommentere.