Redaktion og opdatering af indholdet på denstoredanske.dk er indstillet pr. 24. august 2017. Artikler og andet indhold er tilgængeligt i den form, der var gældende ved redaktionens afslutning.

  • Artiklens indhold er godkendt af redaktionen

sandsynlighedsregning

Oprindelig forfatter JH-J Seneste forfatter Redaktionen

sandsynlighedsregning, matematisk teori for sandsynligheder og tilfældige variable og fænomener. Begrebet "sandsynlighed" i dets nuværende betydning er et forholdsvis nyt begreb, som var ukendt i oldtiden og den tidlige middelalder. Sandsynlighedsregningen har sin oprindelse i tilfældige spil som fx terningspil og kortspil, men bliver i dag anvendt inden for en lang række områder, bl.a. naturvidenskaberne, statistik, forsikringsverdenen, den finansielle sektor og risikovurderinger.

Geronimo Cardano var den første, der forsøgte at gøre sandsynligheder kvantitative. Ca. 1550 skrev han Liber de Ludo Aleae (Bogen om terningspil). Bogen, som mest har karakter af en dagbog, indfører begrebet sandsynlighed i form af odds, og i bogen udleder Cardano de elementære regneregler for sandsynligheder. Cardano var en passioneret spiller, og han holdt sin bog hemmelig. Først ca. 100 år efter Cardanos død blev bogen opdaget blandt hans talrige bøger og artikler, men da var sandsynlighedsregningen blevet genopdaget af de to matematikere Pierre de Fermat og Blaise Pascal i en berømt brevveksling i 1654.

Fermat-Pascals model tager udgangspunkt i en endelig mængde Ω af udfald med samme sandsynlighed, fx lodtrækning blandt tallene 1, 2, ... , N. Sandsynligheden P(A) for en hændelse A ⊆ Ω defineres da som antallet af udfald i A divideret med det samlede antal udfald; dvs. hvis |A| betegner antallet af udfald i A, da er P(A) = |A|/|Ω|. Fermat og Pascal nedskrev aldrig deres idéer i bogform, men i 1656 kom den hollandske matematiker og fysiker Christiaan Huygens til Paris og fik kendskab til brevvekslingen mellem de to. Året efter skrev Huygens den første egentlige lærebog i sandsynlighedsregning (De Ratiociniis in Ludo Aleae).

Annonce

Huygens' model tager sit udgangspunkt i begrebet "middelværdi" eller i hans terminologi "værdien af min chance"; fx postulerer han, at hvis jeg har p chancer for at vinde a kr. og q chancer for at vinde b kr., da er værdien af min chance lig (ap+bq)/(p+q). I bogen beskrives en række problemer med løsninger. Det sidste problem i Huygens' bog lyder således: Hvis jeg og en anden skiftes til at slå med to terninger, sådan at jeg vinder puljen a, hvis min sum er lig 7, og han vinder puljen, hvis hans sum er lig 6; hvis han slår først, da er værdien af min chance lig 31/61a. Problemet har specielt interesse, fordi det går ud over Fermat-Pascals model; da spillet i princippet kan fortsætte i al evighed uden nogen afgørelse, er der uendelig mange mulige udfald.

Brug af sandsynligheder i dagligsproget

Grader af sandsynligheder udtrykkes i daglig tale vha. ord som sjældent, ofte eller hyppigt og modificeres i vendinger som ikke ofte, ret ofte og ganske ofte. Det har vist sig, at folk lægger temmelig uens betydninger i sådanne udtryk. Når der i medicinsk sammenhæng tales om en hyppig bivirkning, vil nogle forstå det som 20%, andre som 60% af tilfældene, hvilket læger først for nylig er blevet opmærksomme på. Yderligere påvirkes fortolkningen af en risikos størrelse af, hvori faren består: hvis kløe omtales som en sjælden komplikation, opfattes det måske som 1 ud af 50; hvis det samme siges om pludselig død, forstås det som 1 ud af 10.000.

Problemet løses ikke fuldstændigt ved i stedet at angive sandsynligheden som talværdi, da de fleste har vanskeligt ved at forholde sig til små sandsynligheder (fx én gang ud af 8500), og da man derved kan komme til at give et falsk indtryk af den præcision, hvormed risikoen er fastlagt.

Ved oversættelse af faglitteratur må man yderligere være opmærksom på, at fx den engelske vending a rare complication og den franske une rare complication dækker over uens grader af sandsynligheder, nemlig hhv. ca. 0,01 og ca. 0,001. Tilsvarende faldgruber findes i oversættelse af journalistisk stof.

Fra 1656 til midten af 1700-t. blev sandsynlighedsregningen udviklet af Pierre Rémond de Montmort (1678-1719), Jakob Bernoulli, Abraham de Moivre og Daniel Bernoulli. I tredje udgave af Moivres bog The Doctrine of Chances (1756) indeholder sidste kapitel (Annuities of Lives) en række formler og tabeller for indbetalinger til livs- og pensionsforsikringer baseret på en overlevelsestabel (dvs. en tabel over sandsynligheden for, at en tilfældig person af given alder overlever sin næste fødselsdag) udarbejdet af astronomen Edmund Halley. Det var da også i forsikringsverdenen, at sandsynlighedsregningen fandt sin første praktiske anvendelse, der rakte videre end spil. I begyndelsen af 1800-t. fandt Gauss den vigtige normalfordeling (også kaldet Gauss-fordelingen). 1800-20 afsluttede P.S. Laplace den klassiske sandsynlighedsregning i sin berømte bog Théorie analytique de probabilités (1812, udvidede udgaver 1814 og 1820). Sandsynlighedsregningen var på dette tidspunkt nået langt uden for grænserne for Fermat-Pascals model, dog uden at der var fundet en stringent matematisk model for sandsynligheder. Efter mange forgæves forsøg i 1800-t. og begyndelsen af 1900-t. lykkedes det Andrej Kolmogorov i 1933 at finde den stringente matematiske model for sandsynligheder, som siden da har været næsten enerådende.

Kolmogorovs model tager sit udgangspunkt i tre objekter: 1) udfaldsrummet Ω, som er en (endelig eller uendelig) mængde af udfald; 2) hændelserne H, som er en mængde af delmængder af Ω (nemlig samtlige observerbare hændelser); 3) sandsynlighedsmålet P, der til enhver hændelse FH knytter hændelsens sandsynlighed P(F), som er et tal mellem 0 og 1. For de tre objekter postulerer Kolmogorov følgende fem aksiomer (spilleregler): a) Den tomme mængde ∅ og udfaldsrummet Ω tilhører begge H. b) Hvis FH er en hændelse, da vil komplementærhændelsen Fc også tilhøre H. c) Hvis F1, F2, ... ∈H er en følge af hændelser, da vil foreningsmængden F1F2∪∙∙∙ også tilhøre H. d) P(∅) = 0, og P(Ω) = 1. e) Hvis F1, F2, ...∈H er en følge af hændelser, som parvis udelukker hinanden (dvs. FnFk = ∅ for nk), da gælder det, at P(F1F2 ∪∙∙∙) = P(F1) +P(F2)+∙∙∙.

Desuden indførte Kolmogorov følgende definitioner: i) En stokastisk variabel er en funktionX fra Ω ind i de reelle tal, som opfylder, at mængden {ω | X(ω) ≤ a} tilhører H for ethvert reelt tal a; ii) to hændelser A,BH er uafhængige, hvis og kun hvis P(AB) = P(A)∙P(B).

Ud fra disse fem aksiomer og to definitioner kan alle sandsynlighedsregningens sætninger udledes på stringent matematisk vis; fx de mange versioner af de store tals lov, den centrale grænseværdisætning, den itererede logaritmelov og arcsin-loven.

De tre første aksiomer udtrykker, at systemet H af hændelser er en såkaldt sigma-algebra i Ω, mens de to sidste aksiomer udtrykker, at P er et mål med total masse 1. Dermed er Kolmogorovs model et specialtilfælde af målteorien.

Fortolkning af sandsynligheder

Der har i tidens løb været en livlig diskussion om fortolkningen af sandsynlighedsudsagn; fx hvad betyder udsagnet "sandsynligheden for, at en 56-årig overlever sin 57. fødselsdag, er lig 272282" eller "sandsynligheden for en nedsejling af Vestbroen over Storebælt i de næste 100 år er lig 5%". Blandt de mange forslag til fortolkning af sandsynligheder er de følgende tre de mest almindelige:

A priori-sandsynligheder er sandsynligheder, som alle fornuftige mennesker kan enes om; fx "sandsynligheden for at få krone i ét kast med en mønt er lig 12" eller "sandsynligheden for at få en sekser i ét kast med en terning er lig 16". A priori-fortolkningen tager ofte sit udgangspunkt i symmetriske udfald; dvs. udfald, der åbenlyst må have samme sandsynlighed, og den er nært knyttet til Fermat-Pascals model.

Frekventielle sandsynligheder er sandsynligheder, der er opnået som en frekvens af en række uafhængige "ens" hændelser; fx "sandsynligheden for, at et tilfældigt parcelhus nedbrænder i løbet af det næste år, er lig 510.000". Den frekventielle fortolkning er begrænset til hændelser, der har optrådt mange gange, men den har den store fordel, at den er robust over for nye erfaringer; observation af en ny hændelse af samme art vil ikke ændre frekvensen ret meget.

Subjektive sandsynligheder udtrykker den (subjektive) grad af overbevisning om den givne hændelses forekomst hos den person, der postulerer sandsynligheden; fx "sandsynligheden for en nedsejling af Vestbroen over Storebælt i de næste 100 år er lig 5%" eller "sandsynligheden for, at Danmark kvalificerer sig til næste fodbold-VM, er lig 40%". Den subjektive fortolkning har sin force i sit brede anvendelsesområde, men dens subjektivitet betyder, at forskellige personer kan fremsætte vidt forskellige bud på sandsynligheden. Desuden er den ofte følsom over for nye erfaringer. Før Tjernobyl-ulykken var den officielle (subjektive) sandsynlighed for et alvorligt atomkraftuheld således meget lille; efter Tjernobyl blev den med ét meget større.

Ikke desto mindre er den næsten enerådende kolmogorovske model en model for subjektive sandsynligheder (de fem aksiomer udtrykker de fundamentale regneregler for subjektive sandsynligheder), der dog inkluderer såvel a priori-fortolkningen som den frekventielle fortolkning.

Referér til denne tekst ved at skrive:
Jørgen Hoffmann-Jørgensen: sandsynlighedsregning i Den Store Danske, Gyldendal. Hentet 25. august 2019 fra http://denstoredanske.dk/index.php?sideId=155316