Redaktion og opdatering af indholdet på denstoredanske.dk er indstillet pr. 24. august 2017. Artikler og andet indhold er tilgængeligt i den form, der var gældende ved redaktionens afslutning.
Den Store Danske bliver fra efteråret 2020 opdateret af Foreningen lex.dk.

  • Artiklens indhold er godkendt af redaktionen

mængdetopologi

Oprindelig forfatter VLHa Seneste forfatter Redaktionen

Mængdetopologi. Tv. illustreres grundbegreberne i mængdetopologi for en delmængde A i planen: P1 er et indre punkt i A, idet der findes en cirkelskive omkring P1 helt indeholdt i A. P2 og P3 er randpunkter for A, idet enhver cirkelskive omkring et af punkterne både indeholder punkter fra A og ikke fra A; P2 tilhører A, mens P3 ikke tilhører A. P4 er et ydre punkt for A, idet der findes en cirkelskive omkring P4 helt bestående af punkter, der ikke tilhører A. Begreberne finder anvendelse helt generelt, fx som vist th. for delmængder af kuglefladen: B er en åben mængde i kuglefladen, idet den ikke indeholder sin rand; B består af lutter indre punkter. C er en afsluttet mængde i kuglefladen, idet den indeholder alle sine randpunkter.

Mængdetopologi. Tv. illustreres grundbegreberne i mængdetopologi for en delmængde A i planen: P1 er et indre punkt i A, idet der findes en cirkelskive omkring P1 helt indeholdt i A. P2 og P3 er randpunkter for A, idet enhver cirkelskive omkring et af punkterne både indeholder punkter fra A og ikke fra A; P2 tilhører A, mens P3 ikke tilhører A. P4 er et ydre punkt for A, idet der findes en cirkelskive omkring P4 helt bestående af punkter, der ikke tilhører A. Begreberne finder anvendelse helt generelt, fx som vist th. for delmængder af kuglefladen: B er en åben mængde i kuglefladen, idet den ikke indeholder sin rand; B består af lutter indre punkter. C er en afsluttet mængde i kuglefladen, idet den indeholder alle sine randpunkter.

mængdetopologi, matematisk disciplin, som omhandler den indbyrdes beliggenhed af punkter i abstrakte rum. Mængdetopologien udgør det geometriske grundlag for den matematiske analyse og udvikles i vore dage mest i tilknytning til funktionalanalyse.

De første fundamentale begreber i mængdetopologien blev udviklet i talrummene Rn i forbindelse med den præcisering af begreberne konvergens af talfølger og kontinuitet af funktioner, som fandt sted i 1800-t. i arbejder af bl.a. B. Bolzano, A.L. Cauchy, K. Weierstrass, H.E. Heine (1821-81) og E. Borel. Aksiomatiske indførelser af de reelle tal fra ca. 1870 af bl.a. G. Cantor, R. Dedekind og Weierstrass var et væsentligt led i udviklingen af mængdetopologien, ligesom Cantors arbejder om mængdebegrebet (1874 og frem) om ordinaltal og transfinitte kardinaltal (definitive fremstillinger 1895 og 1897) bør nævnes. Centrale begreber som indre, ydre og rand for en mængde, åbne mængder, afsluttede mængder, begrænsede mængder og sammenhængende mængder blev indført i arbejder af Cantor og C. Jordan. De mængder i talrummene, som samtidig er afsluttede og begrænsede, kan karakteriseres ved en overdækningsegenskab, nemlig at der i en vilkårlig overdækning med åbne delmængder altid findes endeligt mange, som overdækker. Dette vigtige resultat kaldes Heine-Borel-Lebesgues sætning (Heine 1872, Borel 1895, H. Lebesgue 1904). Med en terminologi foreslået af M. Fréchet kaldes mængder med denne overdækningsegenskab for kompakte mængder. Begreber karakteriseret ved overdækningsegenskaber har vist sig særdeles frugtbare i mængdetopologiens udvikling.

I 1906 påpegede Fréchet, at begreber som konvergens og kontinuitet kan indføres i mange andre typer rum end talrummene, ikke mindst i metriske rum. Sådanne rum optræder naturligt i forbindelser, hvor funktioner opfattes som punkter i et funktionsrum.

Annonce

For at beskrive den indbyrdes beliggenhed af punkter i et rum kan man klare sig uden metriske størrelser og blot nøjes med et omegnsbegreb i rummet. Dette blev udviklet af F. Hausdorff i Grundzüge der Mengenlehre (1914). En ækvivalent teori for topologiske rum, baseret på en afslutningsoperation for mængder i rummet, blev grundlagt af den polske matematiker Kazimierz Kuratowski (1896-1980) i 1922 og videreudviklet af den polske matematiker Wacław Sierpiński (1882-1969) i 1927.

Man kan i stedet benytte et aksiomsystem for åbne mængder foreslået i 1923 af Heinrich Tietze (1880-1964), og et topologisk rum, S, defineres i dag oftest som en grundmængde S udstyret med et system af delmængder, der kaldes de åbne mængder. Systemet skal opfylde tre krav: 1) En vilkårlig foreningsmængde af åbne delmængder er selv åben. 2) En vilkårlig fællesmængde af et endeligt antal åbne delmængder er selv åben. 3) Hele mængden S og den tomme mængde ∅ er åbne delmængder i S.

Med udgangspunkt i disse aksiomer kan mængdetopologien udvikles.

Referér til denne tekst ved at skrive:
Vagn Lundsgaard Hansen: mængdetopologi i Den Store Danske, Gyldendal. Hentet 4. april 2020 fra http://denstoredanske.dk/index.php?sideId=129366