Redaktion og opdatering af indholdet på denstoredanske.dk er indstillet pr. 24. august 2017. Artikler og andet indhold er tilgængeligt i den form, der var gældende ved redaktionens afslutning.

  • Artiklens indhold er godkendt af redaktionen

kontinuert funktion

Oprindelig forfatter CBer Seneste forfatter Redaktionen

kontinuert funktion, matematisk begreb. Intuitivt er en reel funktion y = f (x) af en reel variabel kontinuert, hvis en lille ændring i x kun fører til en lille ændring i y. Geometrisk formuleret betyder kontinuitet, at funktionens graf er en sammenhængende kurve. Begrebet kan præciseres ved hjælp af grænseværdi: Funktionen f er kontinuert i punktet x0, som kaldes et kontinuitetspunkt for f, hvis

56742.301.jpg.

Funktionen kaldes dernæst kontinuert, hvis den er kontinuert i alle punkter i definitionsmængden. Hvis funktionen ikke er kontinuert, kaldes den diskontinuert. At x0 er et kontinuitetspunkt kan også udtrykkes ved konvergens på følgende måde: For enhver talfølge xn, som konvergerer mod x0, skal følgen af funktionsværdier f (xn) konvergere mod f (x0).

Først med Weierstrass' forelæsninger i anden halvdel af 1800-t. nåede kontinuitetsbegrebet en præcision, som vi i dag finder tilfredsstillende. Hans definition på kontinuitet i x0 lyder: Til hvert ε > 0 skal der findes δ = δ(x0) > 0, så der for alle x med |xx0| < δ gælder |f (x)−f (x0)| < ε.

Annonce

Funktionen kaldes uniformt kontinuert (ligeligt kontinuert), hvis δ = δ(x0) kan vælges uafhængigt af x0 i definitionsmængden. Funktionen y = x2 defineret for alle reelle x er kontinuert uden at være uniformt kontinuert.

Definitionerne lader sig umiddelbart overføre til afbildninger f : MN mellem to metriske rumM og N. Kontinuitet kan karakteriseres ved systemerne af åbne mængder i de metriske rum på følgende måde: For enhver åben mængde G i N er f-1(G) åben i M. Denne karakterisering har stor teoretisk betydning og tillader også studiet af kontinuitet i topologiske rum.

Weierstrass viste i 1861 hovedsætningen om kontinuerte funktioner f : [a,b] ↷ R. Sætningen siger, at f 's billedmængde er et afsluttet, begrænset interval; specielt har funktionen en største og en mindste værdi. Den tyske matematiker E. Heine (1821-81) indførte begrebet uniformt kontinuert funktion og viste i 1872, at en kontinuert funktion på et afsluttet, begrænset interval er uniformt kontinuert.

Ampère hævdede, at enhver kontinuert funktion er differentiabel på nær i få punkter. Det var derfor overraskende, at Weierstrass ved hjælp af sin præcise definition i 1872 kunne konstruere en kontinuert funktion af en reel variabel, som ikke er differentiabel i noget punkt.

Referér til denne tekst ved at skrive:
Christian Berg: kontinuert funktion i Den Store Danske, Gyldendal. Hentet 22. oktober 2019 fra http://denstoredanske.dk/index.php?sideId=109610