Redaktion og opdatering af indholdet på denstoredanske.dk er indstillet pr. 24. august 2017. Artikler og andet indhold er tilgængeligt i den form, der var gældende ved redaktionens afslutning.

  • Artiklens indhold er godkendt af redaktionen

differentialligning

Oprindelig forfatter Grubb Seneste forfatter Redaktionen

differentialligning, ligning, hvori den ubekendte er en differentiabel funktion u (se differentialregning), og hvor ligningen involverer u og dens afledede funktioner. Differentialligninger giver matematiske beskrivelser af mange sammenhænge, dels naturvidenskabelige fænomener, men fx også økonomiske forhold. Når u er funktion af én reel variabel, tales om en sædvanlig differentialligning; når u er funktion af flere reelle variable (således at der defineres partielle afledede med hensyn til hver af de variable), tales om en partiel differentialligning.

Sædvanlige differentialligninger

Et simpelt eksempel er ligningen

u′(t) = a u(t),

Annonce

hvor a er en given konstant, som angiver, at størrelsen u(t) ændres med en hastighed proportional med u(t); t betegner tiden. Løsningerne til ligningen er funktionerne u(t) = c eat, hvor c er en konstant, og ex betegner den naturlige eksponential- funktion.
For a > 0 kan ligningen fx beskrive udviklingen af en kapital indsat i en bank til en bestemt rente, for a < 0 beskrives fx henfaldet af stråling fra et radioaktivt materiale.
I stedet for u′ skrives også du/dt. I sådanne ligninger kan der også indgå højere afledede af u, altså u″(t) = d2u/dt2, u‴(t) = d3u/dt3, osv. Den højeste differentiationsorden, der indgår i ligningen, kaldes dens orden.

Lineære differentialligninger

Ligningen kaldes lineær, når u og dens afledede indgår som en linearkombination med givne funktioner som koefficienter, fx

a0u+a1u′+∙∙∙+amu(m)+f = 0,

hvor a0, ..., am og f er givne funktioner af t. Man kan også betragte flere sammenhørende ligninger med flere ubekendte funktioner, kort betegnet systemer af differentialligninger. Den søgte løsning vil ofte være præciseret ved at skulle opfylde begyndelsesbetingelser (dvs. værdien af u og evt. nogle af dens afledede er fastlagt til et bestemt tidspunkt t0) eller randbetingelser (u skal bestemmes på et interval [a,b], hvor værdierne af u og evt. nogle afledede er givet i randpunkterne a og b). Man søger især at opstille problemer, hvor der eksisterer en entydig løsning.

Man kan også betragte egenværdiproblemer, fx

u″(t)+q(t)u(t) = λu(t)

for t i [a,b] med randbetingelserne u(a) = u(b) = 0, hvor q(t) er en given funktion. Her søges de værdier λ, for hvilke der findes en løsning u, som ikke er 0 i hele intervallet. Tallet λ kaldes da en egenværdi, og u kaldes en egenfunktion; problemet kaldes Sturm-Liouville problemet. For fx q = 0 og [a,b] = [0,π] er der løsninger, når λ =−n2, og løsningerne er funktionerne c sin nt, hvor n er et naturligt tal. Disse indgår i Fourieranalysen, hvor vilkårlige funktioner fremstilles som overlejringer af sinusfunktioner.

Ikke-lineære differentialligninger

Mens lineære differentialligninger i reglen kan løses på hele det interval, hvor de betragtes, kan ikke-lineære problemer ofte kun løses på små intervaller, eller de frembyder flertydighed (forgrening, bifurkation) af løsninger. For ligningssystemer med n ubekendte funktioner af t kan løsningerne x(t) = (x1(t),...,xn(t)) opfattes som kurver i et n-dimensionalt rum. Man undersøger kurvernes globale opførsel, fx om der er lukkede løsningskurver, eller om kurverne konvergerer mod bestemte forløb, når t går mod uendelig.

Partielle differentialligninger

Nogle af de vigtigste lineære partielle differentialligninger indeholder Laplace-operatoren Δ, defineret ved

56701.401.jpg

for funktioner u(x) af n reelle variable x = (x1,x2,...,xn). Vigtig er Poissons ligning Δu = f, hvor f er en kendt funktion af x. Det samme gælder ligninger, hvori der optræder en tidsparameter t, som fx bølgeligningen

56701.406.jpg

der for f = 0 beskriver lysbølgers udbredelse i vakuum (c = lyshastigheden), og varmeledningsligningen

56701.407.jpg

der beskriver varmeudbredelse og andre diffusionsprocesser. Poissons ligning med f = 0 (kaldet Laplace-ligningen) opfyldes fx af et elektrisk potential i en metalgenstand.

Når løsningen søges bestemt for x i en delmængde Ω af Rn, pålægges en randbetingelse på randen af Ω, fx at u skal være lig med en foreskrevet funktion dér (Dirichlet-betingelsen). For varmeledningsligningen må der endvidere pålægges en begyndelsesbetingelse, for at u skal være entydigt fastlagt til senere tidspunkter t > t0, og ved bølgeligningen må man foreskrive to begyndelsesværdier u og ∂u/∂t til t = t0 for at få entydig løsning for generelle t.

Poissons ligning er prototypen på såkaldte elliptiske differentialligninger, bølgeligningen er typisk for hyperbolske differentialligninger, og varmeledningsligningen er typisk for parabolske differentialligninger.

Differentiationsudtryk såsom Δ, ∂/∂t−Δ og ∂2/∂t2−Δ kaldes i moderne terminologi differentialoperatorer.

For elliptiske problemer finder man ofte, at selvom der ikke er entydig løselighed, er der eksistens af løsning for alle højre sider f, der opfylder et bestemt sæt af N lineære betingelser, og løsningen er entydigt bestemt på nær en addend i et bestemt vektorrum af endelig dimension M. Problemet kaldes et Fredholm problem, og tallet M−N kaldes problemets indeks. Bestemmelsen af indeks er nært forbundet med geometriske egenskaber ved problemstillingen; en berømt sætning er Atiyah-Singers indekssætning.

De hyperbolske og parabolske problemer er entydigt løselige under passende betingelser. Her interesserer man sig for, hvordan særlige egenskaber ved begyndelsesværdierne viser sig i løsningens udseende, når t vokser (for bølgeligningen: udbredelse af singulariteter, "signaler").

Schrödingerligningen

56701.402.jpg

minder til dels om varmeledningsligningen, men koefficienten i (den imaginære enhed) ændrer typen radikalt; ligningen har også fællestræk med hyperbolske problemer. Den studeres i kvantemekanik i beskrivelsen af mange-legeme-problemet; V repræsenterer her en potentialfunktion.

Løsning af første ordens problemer (hvor kun u og ∂u/∂x1,...,∂u/∂xn indgår) er enklere end ovennævnte anden ordens tilfælde og kan i små områder udføres ved direkte integration (Hamilton-Jacobis metode).

Løsningsformler for partielle differentialligninger er ofte givet ved integraler, fx giver følgende integraler for n = 3 løsninger til hhv. Poissons ligning, varmeledningsligningen (med f = 0 og begyndelsesværdi v til t = 0) og bølgeligningen (med c = 1):

56701.403.jpg

her betegner |x| = (x21+x22+x23)1/2. Sådanne afbildninger fra f til u (eller v til u) kaldes integraloperatorer.

I nyere tid har man udviklet en større ramme for teorien med indførelsen af pseudo-differentialoperatorer og Fourierintegraloperatorer, som omfatter såvel differentialoperatorer som integraloperatorer. Distributionsteori og Fourieranalyse er vigtige hjælpemidler. Studiet af udbredelse af singulariter for løsninger til hyperbolske problemer har ført til dybtgående teknikker under betegnelsen mikrolokal analyse. De lineære ligninger er ofte blot en første approksimation til mere nøjagtige ikke-lineære ligninger for de fysiske fænomener. Fx har man Navier-Stokes systemet,

56701.404.jpg

der beskriver strømningen i en væske (her er (u1,u2,u3) hastigheden og p trykket i et punkt, og f1,f2,f3 repræsenterer ydre kræfter). Den lineære approksimation, der fås ved at udelade leddet

56701.301.jpgukuj/∂xk, er af parabolsk type, men er kun en god approksimation for små tidsintervaller, og der er uafklarede entydighedsspørgsmål for ligningen betragtet for t gående mod uendelig.

Differentialligninger optræder ofte i forbindelse med variationsregning, hvor man skal minimere et integral dannet af u og dens afledede; heraf udledes en differentialligning for u (Eulers differentialligning). Af denne art er ligningen for minimalflader (flader med en given rand og mindst muligt areal):

56701.405.jpg

igen et ikke-lineært eksempel. Det har Laplace-ligningens Dirichlet-problem som lineær approksimation, men er i modsætning til dette ikke altid løsbart.

Læs også om numerisk løsning af differentialligninger.

Referér til denne tekst ved at skrive:
Gerd Grubb: differentialligning i Den Store Danske, Gyldendal. Hentet 23. april 2019 fra http://denstoredanske.dk/index.php?sideId=64450