Redaktion og opdatering af indholdet på denstoredanske.dk er indstillet pr. 24. august 2017. Artikler og andet indhold er tilgængeligt i den form, der var gældende ved redaktionens afslutning.

  • Artiklens indhold er godkendt af redaktionen

differensligning

Oprindelig forfatter MELa Seneste forfatter Redaktionen

differensligning, matematisk ligning, som bestemmer funktionsværdierne for en funktion, som er defineret for en række talværdier, der afviger med en konstant — ofte 1. Funktionens værdier angives ved den eller de foregående værdier. Differensligninger anvendes fx i matematiske modeller for økonomiske systemer.

Et simpelt eksempel er formlen for rentetilskrivning af en kapital. Har kapitalen K0 henstået n terminer til rentefod r, har den opnået værdien K(n). Efter første termin er kapitalen vokset til K(1) = K0(1+r). Efter endnu en termin er kapitalens værdi K(2) = K(1)(1+r) = K0(1+r)2. Ved hvert skridt — hver termin — vokser kapitalen med en rentefod r og bliver i løbet af n terminer til K(n) = K0(1+r)n. Kapitalens værdi før den første rentetilskrivning K0 kan derfor successivt bestemme værdien termin for termin.

I almindelighed er en første ordens differensligning en ligning af formen
f (n) = a(n) f (n−1)+g(n),
hvor a(n) og g(n) er kendte funktioner. Desuden må begyndelsesværdien f (0) være kendt. Dernæst kan funktionens værdier bestemmes successivt.

Annonce

På samme måde er en lineær anden ordens differensligning af formen
f (n) = a1(n)f (n−1)+a2(n)f (n−2)+g(n),
hvor a1(n), a2(n) og g(n) er kendte funktioner; her må man kende begyndelsesværdierne f (0) og f (1). Et simpelt eksempel er f (n)=f (n−1)+f (n−2), hvor funktionsværdien er summen af de to foregående. Med begyndelsesværdierne f (0)=f (1)=1 fås successivt: f (2)=1+1=2, f (3)=2+1=3, f (4)=3+2=5, f (5)=5+3=8 osv. Herved fremkommer Fibonaccitallene, som optræder i overraskende mange sammenhænge i matematikken.

En lineær m'te ordens differensligning har formen
f (n) = a1(n)f (n−1)+a2(n)f (n−2)+∙∙∙ +am(n)f (nm)+g(n),
hvor man tillige kender m begyndelsesværdier f (0), f (1), ..., f (m−1).

En differensligning tillader umiddelbart kun, at funktionsværdierne bestemmes successivt. Det bliver derfor et af hovedproblemerne at finde et eksplicit udtryk for f (n), så funktionsværdien kan bestemmes direkte for ethvert n. For rentetilskrivningsligningen er løsningen K(n) = K0(1+r)n. For vilkårlige lineære differensligninger er problemet imidlertid ingenlunde simpelt og i mange tilfælde uløseligt.

Den generelle ligning med konstante koefficienter
f (n) = a1f (n−1)+a2f (n−2)+∙∙∙ +amf (nm)+g(n)
findes der imidlertid løsningsmetoder til.

Lineære højere ordens ligninger med ikke-konstante koefficienter kan ikke altid løses. Hvis koefficienterne er polynomier, kan man transformere problemet til en differentialligning, fx ved en Laplace-transformation.

Referér til denne tekst ved at skrive:
Mogens Esrom Larsen: differensligning i Den Store Danske, Gyldendal. Hentet 25. august 2019 fra http://denstoredanske.dk/index.php?sideId=64431