• Artiklens indhold er godkendt af redaktionen

relativitetsteori

Oprindelige forfattere CFW, JLPe og OWD Seneste forfatter Redaktionen

Relativitetsteori. Kurven viser funktionen γ, som forekommer i den specielle relativitetsteori. Den angiver, hvorledes massen og den totale energi af et legeme afhænger af legemets hastighed. Når hastigheden nærmer sig lyshastigheden, stiger massen mod uendelig, således at der skal større og større kraft til at give legemet en yderligere hastighedsforøgelse. Ifølge den specielle relativitetsteori kan intet legeme eller signal bevæge sig med en hastighed større end lysets.

Relativitetsteori. Kurven viser funktionen γ, som forekommer i den specielle relativitetsteori. Den angiver, hvorledes massen og den totale energi af et legeme afhænger af legemets hastighed. Når hastigheden nærmer sig lyshastigheden, stiger massen mod uendelig, således at der skal større og større kraft til at give legemet en yderligere hastighedsforøgelse. Ifølge den specielle relativitetsteori kan intet legeme eller signal bevæge sig med en hastighed større end lysets.

relativitetsteori, den af Albert Einstein udviklede teori for, hvorledes rum og tid indgår i formuleringen af fysikkens love. Relativitetsteorien udgør sammen med kvantemekanikken et af fundamenterne for den moderne fysik. Den består af to dele, den specielle relativitetsteori (1905) og den almene relativitetsteori (1915).

I den specielle relativitetsteori generaliserede Einstein Galileis relativitetsprincip, ifølge hvilket mekanikkens love, som formuleret af Galilei og Newton, har den samme form i ethvert inertialsystem, til også at omfatte samtlige fysikkens øvrige love, herunder også lovene for elektromagnetiske fænomener som fx lysets udbredelse i det tomme rum (vakuum). Den specielle relativitetsteori får derved en særstilling som det grundlag, hele den moderne fysik hviler på, i det omfang rum og tid indgår i den fysiske beskrivelse.

Den specielle relativitetsteori

Maxwells teori for elektricitet og magnetisme, specielt hans forståelse af lys som elektromagnetiske svingninger, var selve grundlaget for de diskussioner og vanskeligheder, der førte til den specielle relativitetsteori. Maxwell kunne beregne lyshastigheden, men formodede, at hans resultat ikke havde almen gyldighed, men alene refererede til lyshastigheden relativt til en "æter", der måtte tænkes at bære lys, omtrent som luft bærer lyd.

Annonce

I den almene relativitetsteori udvidede Einstein sit relativitetsprincip til også at omfatte accelererede systemer. Vha. det såkaldte ækvivalensprincip og gennem indførelsen af en firedimensional, ikke-euklidisk geometri, der omfatter både rum og tid, forbandt han denne geometri med den impuls og energi, der er knyttet til forekomsten af stof og stråling. Den almene relativitetsteori udgør derved en udvidet og sammenhængende gravitationsteori om, hvordan masser og stråling bevæger sig i rummet. Tyngdekraften får således en ny fortolkning og en særstilling i forhold til de øvrige naturkræfter. Den almene relativitetsteori danner også grundlaget for de kosmologiske modeller, der beskriver væsentlige astrofysiske fænomener i Universet.

Er alt relativt?

Ordet relativ har fra begyndelsen forledt mange ikke-fysikere til at tro, at relativitetsteorien har noget at gøre med erkendelsesmæssig relativisme, dvs. den opfattelse, at udsagn eller love ikke kan have en absolut gyldighed uafhængigt af skiftende tider og steder.

Det er en dagligdags erfaring, at hastighed er et begreb, der defineres ved bevægelse i forhold til noget andet. En bil har således én hastighed i forhold til vejbanen, men en anden i forhold til en modkørende cyklist. Hastighed er altså et relativt begreb. Da Maxwell fandt, at lys var elektromagnetiske bølger, der udbredte sig med hastigheden c, var det derfor naturligt at spørge "hastigheden i forhold til hvad?". Maxwells eget svar var "i forhold til æteren". Lyshastigheden målt på Jorden (der jo bevæger sig i en ellipse om Solen og dermed bevæger sig i forhold til æteren) må derfor variere i årets løb, på samme måde som en bil har forskellig hastighed i forhold til en cyklist, der kører samme vej som bilen, og en cyklist, der kører den modsatte vej. Ethvert forsøg på at bestemme en sådan variation er imidlertid slået fejl.

Det var Einsteins dristige idé, at lyshastigheden er absolut, dvs. at lysets hastighed, selv målt af iagttagere, der bevæger sig i forhold til hinanden, altid er den samme. Denne hypotese fører til, at begreber som samtidighed og afstand mellem hændelser bliver relative, i den forstand at de er forskellige for iagttagere i indbyrdes bevægelse. Forskellige iagttagere kan dog sagtens forlige deres observationer vha. relativitetsteoriens formler, og de vil ikke finde nogen grund til at tvivle på relativitetsteoriens universelle gyldighed. Desuden forudsiger teorien nye absolutte begreber, fx lyshastigheden og hvilemassen. Det er en skrøne, at Einstein skulle have sagt, at alt er relativt - ikke engang relativitetsteorien er relativ.

Et hovedspørgsmål for fysikken blev da at forstå formen for de elektromagnetiske naturlove for legemer, der bevægede sig gennem æteren. Titlen på Einsteins artikel fra 1905, hvor den specielle relativitetsteori fremsættes, refererer udtrykkeligt hertil: "Zur Elektrodynamik bewegter Körper". Han tog konsekvent udgangspunkt i, at det var mislykkedes at bestemme fx Jordens hastighed relativt til denne æter (se Michelson-Morley-eksperimentet; det er dog uvist, om Einstein havde kendskab til dette eksperiment). At lyshastigheden virkelig skulle være en naturkonstant uafhængig af lyskildens og iagttagerens bevægelser, forekom fysikerne før Einstein umiddelbart selvmodsigende. Men Einstein indså den logiske mulighed heraf. Han indså også, at prisen herfor var en række dybtgående ændringer i vore vante forestillinger om især tiden som noget absolut.

Efter Einstein er æteren en unødvendig fiktion uden fysisk relevans, og Maxwells elektromagnetiske teori gælder uden videre også for bevægede legemer, langt mere generelt end Maxwell selv havde forestillet sig. Det dybtgående forståelsesskel, der sættes med relativitetsteorien, gav anledning til at betegne den tidligere fysik som den klassiske fysik. Imidlertid gav fremkomsten af kvantemekanikken 20 år senere anledning til endnu langt dybere begrebsændringer. I dag ser de fleste relativitetsteorien som den naturlige afrunding af netop den klassiske fysik, som dermed indeholder relativitetsteorien. Fysik før relativitetsteorien fremstår som det naturlige grænsetilfælde for Einsteins teori, når legemers hastigheder er små i forhold til lysets. Denne fysik betegnes da som den ikke-relativistiske fysik.

Relativitetsteori. Den vante forestilling om, at hastigheder er additive, gælder ikke i den specielle relativitetsteori. Hvis et legeme bevæger sig med hastigheden u′ i forhold til et inertialsystem S′, som selv bevæger sig med hastigheden v i forhold til et andet inertialsystem S, vil hastigheden u af legemet målt i S følge kurver som vist med rødt på figuren. Når begge hastigheder er små i forhold til lyshastigheden c, starter kurven med hældningen 1, hvilket svarer til det ikke-relativistiske tilfælde, hvor hastighederne er additive. Men når bare den ene af hastighederne nærmer sig lyshastigheden, kan man ikke blot lægge hastighederne sammen. Den relativistiske additionsregel sikrer, at ingen hastigheder kan overstige lyshastigheden.

Relativitetsteori. Den vante forestilling om, at hastigheder er additive, gælder ikke i den specielle relativitetsteori. Hvis et legeme bevæger sig med hastigheden u′ i forhold til et inertialsystem S′, som selv bevæger sig med hastigheden v i forhold til et andet inertialsystem S, vil hastigheden u af legemet målt i S følge kurver som vist med rødt på figuren. Når begge hastigheder er små i forhold til lyshastigheden c, starter kurven med hældningen 1, hvilket svarer til det ikke-relativistiske tilfælde, hvor hastighederne er additive. Men når bare den ene af hastighederne nærmer sig lyshastigheden, kan man ikke blot lægge hastighederne sammen. Den relativistiske additionsregel sikrer, at ingen hastigheder kan overstige lyshastigheden.

Den ikke-relativistiske Galilei-transformation

Den specielle relativitetsteori forudsætter ligesom den klassiske mekanik eksistensen af inertialsystemer, hvori naturlovene antager deres enkleste form. I disse gælder Newtons første lov (inertiens lov), hvorefter et legeme bevæger sig med konstant hastighed (uændret retning og fart), når det ikke er påvirket af ydre kræfter. Det følger heraf, at to vilkårlige inertialsystemer kun kan bevæge sig i forhold til hinanden i en translatorisk bevægelse med en konstant relativ hastighed.

Et fysisk fænomen, der foregår et bestemt sted, dvs. i et rum-punkt, til en bestemt tid, kaldes i relativitetsteorien en begivenhed. Det kan fx være sammenstødet mellem to elementarpartikler. Stedet beskrives i et retvinklet koordinatsystem ved koordinaterne (x,y,z), og tiden betegnes ved t. Både sted og tid refererer til et bestemt inertialsystem.

En begivenhed, der i et inertialsystem S er karakteriseret ved (x,y,z) og t, vil i et vilkårligt andet inertialsystem S′ være karakteriseret ved et tilsvarende sæt koordinater (x ′,y ′,z ′) og t ′. I den ikke-relativistiske fysik er tiden universel, dvs. at man kan anvende samme tidsmål i forskellige inertialsystemer og dermed generelt sætte t ′ = t. Vælger man under disse omstændigheder at orientere de rumlige koordinatakser i de to inertialsystemer, så de er parvis parallelle, og således at deres begyndelsespunkter falder sammen til t = t ′ = 0, kan sammenhængen udtrykkes ved Galilei-transformationen:
x ′ = xvt, y ′ = y, z ′ = z, t ′ = t,
hvor v er den hastighed, hvormed systemet S′ bevæger sig ud ad x-aksen i systemet S.

Da Newtons love for den ikke-relativistiske mekanik udtrykkes ved accelerationer og kræfter, vil disse love antage den samme form i både S og S′. Man siger derfor, at de er forminvariante (kovariante) over for en Galilei-transformation, og at de tilfredsstiller Galileis relativitetsprincip. Det er en umiddelbar konsekvens af Galilei-transformationen, at parallelle hastigheder er additive, dvs. at et legeme, der bevæger sig i systemet S′ med farten u′ ud ad x ′-aksen, i systemet S vil bevæge sig ud ad x-aksen med en fart, der er summen af u′ og v, dvs. u = u′ + v.

458040.801.png

Tid er ikke en universel størrelse, men afhænger af den relative hastighed mellem iagttageren og tidsmåleren. Figuren viser to situationer, hvor tiden måles af et idealiseret ur, hvis periode er den tid, det tager et lysglimt, udsendt af en blitz, at bevæge sig afstanden D til et spejl og tilbage, hvor det registreres i en fotocelle. I situation 1 er blitz og fotocelle i hvile. Urets periode T’ er da bestemt af ligningen D = ½cT´, hvor c er lyshastigheden.

I situation2 bevæger uret (inkl. spejl) sig mod højre i figuren med hastigheden v, mens iagttageren i hvile observerer lysets bevægelse. Iagttageren ser nu, at lyset må bevæge sig en længere vej, og derfor bliver urets periode, T, længere. Anvendes Pythagoras’ sætning på den retvinklede trekant 3, findes D = ½T(c2-v2)½. Når dette sammenholdes med udtrykket for D ovenfor, findes T = T’/(1-v2/c2)½ = γT’, som er Einsteins formel for sammenhængen mellem tidsperioder målt i bevægelse. Tiden går langsommere, når den måles af en observatør, der ikke følger med urets bevægelse.

Ill. efter Feynman et al., The Feynman Lectures on Physics.

JLPe

Den relativistiske Lorentz-transformation

Som grundlag for den specielle relativitetsteori opstillede Einstein det specielle relativitetsprincip, som siger, at alle inertialsystemer er ækvivalente eller ligeberettigede med henblik på udførelsen af ethvert fysisk eksperiment, herunder også elektromagnetiske, dvs. at det ikke er muligt vha. noget fysisk eksperiment at give mening til begrebet "et system i absolut hvile".

Det er en konsekvens af Einsteins specielle relativitetsprincip, at lysets hastighed c må have den samme konstante værdi i ethvert inertialsystem. Dette er imidlertid uforeneligt med, at hastigheder er additive, og dermed også med, at begivenheder i to forskellige inertialsystemer er forbundne ved en Galilei-transformation. Einsteins konsekvente analyse af de fysiske vilkår for måling af afstande og tidsrum under forudsætning af en universel og i alle inertialsystemer konstant lyshastighed viste, at det klassiske absolutte tidsbegreb måtte opgives, og at tidens gang er forskellig i to inertialsystemer, der er i relativ bevægelse. Galilei-transformationen mellem systemerne S og S′ må, som Einstein påviste, erstattes med Lorentz-transformationen:
x ′ = γ (xvt), y ′ = y, z ′ = z, t ′ = γ (tvx/c2),
hvor
γ =59113.301.jpg.

Når den relative hastighed v mellem de to inertialsystemer er meget mindre end lyshastigheden c, er γ nær 1, og Lorentz-transformationen nærmer sig da den klassiske Galilei-transformation. Når v nærmer sig lyshastigheden, bliver γ meget stor, og afvigelserne bliver markante. Fx vil de parallelle hastigheder u′ og v, som ifølge Galilei-transformationen var additive (se ovenfor), ifølge Lorentz-transformationen adderes på følgende måde:
u = (u′ + v)/(1 + (uv/c2)).
Denne formel sikrer, at selvom både u′ og v er tæt ved lyshastigheden c, kan u aldrig blive større end c.

Lorentz-transformationen har en række afgørende matematiske egenskaber, der tilsammen fuldstændig godtgør, at Einsteins specielle relativitetsteori er modsigelsesfri. Talrige forsøg på at afsløre, at den lider af selvmodsigelser, beror alle på manglende forståelse af dette forhold. Alle tilsyneladende paradokser kan opløses vha. Lorentz-transformationen. Men teoriens logiske konsistens er ikke nok til at sikre, at den også stemmer med den fysiske virkelighed. Først flere årtier efter 1905 blev det muligt i detaljer at eftervise den eksperimentelt. I moderne eksperimenter i atom-, kerne- og elementarpartikelfysik er den blevet bekræftet med meget stor nøjagtighed.

Tidsforlængelse og længdeforkortelse

Lorentz-transformationen har den konsekvens, at tid og længde ikke er universelle størrelser, men afhænger af de vilkår, hvorunder de observeres. Måling af tidsintervaller vil således afhænge af iagttagerens hastighed i forhold til tidsmåleren (fx et ur eller et pendul). Hvis et pendul er i hvile i et inertialsystem S′, som bevæger sig med hastigheden v i forhold til et andet inertialsystem S, og pendulets periode (svingningstid) måles i S′ til at have værdien T ′, vil perioden, observeret fra S, være længere og givet ved T = γT ′. Set fra S går tiden derfor langsommere i S′. Den tid, som måles af et ur, der følger med et inertialsystem, kaldes systemets egentid. Eksperimenter med ustabile atomkerner eller elementarpartikler, som bevæger sig med relativistiske hastigheder, har bekræftet tidsforlængelsen. De har en længere middellevetid, når deres hastighed er stor, og netop med en levetidsforlængelse givet ved faktoren γ.

Ligesom måling af tid vil også måling af afstande afhænge af den relative hastighed mellem iagttageren og den genstand, der måles. Hvis en målestok har længden L′ i inertialsystemet S′, vil den målt fra S have længden L = L′/γ, altså være forkortet og des mere, jo nærmere hastigheden v kommer til lyshastigheden c. Fænomenet kaldes den relativistiske længdeforkortelse eller Lorentz-forkortelsen. Målestokkens maksimale længde måles, når den er i hvile i forhold til iagttageren uafhængigt af, i hvilket inertialsystem denne befinder sig.

"Tvillingparadokset" eller "urparadokset" er en meget omtalt konsekvens af den relativistiske tidsforlængelse. Tvillinger, hvoraf den ene forbliver i et inertialsystem S, mens den anden bevæges med stor hastighed derfra først i én retning og derefter tilbage til udgangspunktet (inertialsystemet S), vil have forskellige aldre, når de mødes efter den enes rejse. Den rejsende tvilling vil være mindre ældet, idet tidsforløbet målt i S for denne tvilling vil have været kortere end for den tvilling, der er blevet hjemme. Var et ur blevet sendt af sted på samme måde, ville det vise en kortere rejsetid end uret, der forbliver i inertialsystemet S. Man kan altså observere, hvilken tvilling eller hvilket ur der har været på rejse.

Når dette fænomen, som faktisk kunne forekomme, er betegnet som et paradoks, skyldes det, at der ved en umiddelbar betragtning er en modstrid med den grundforudsætning i relativitetsteorien, at alle inertialsystemer er ligeværdige, dvs. at man ved observation af fysiske fænomener ikke kan skelne et inertialsystem fra et andet. Havde begge tvillinger eller ure derfor under hele forløbet været i inertialsystemer, ville man ikke kunne observere forskel imellem dem. Løsningen på paradokset er, at den tvilling eller det ur, der har været på rejse, nødvendigvis må have undergået accelerationer for at komme tilbage i inertialsystemet S.

Samtidighedsproblemet

I sin populære bog Mr. Tompkins in Wonderland (1939, Mr. Tompkins i Drømmeland, 1942) giver den russisk-amerikanske fysiker George Gamow et eksempel på, hvorfor det ikke er muligt at tale om absolut samtidighed i relativitetsteorien, som følge af at lyshastigheden er den samme i alle inertialsystemer. I et af sine tankeeksperimenter viser han bl.a., at passagererne på to togvogne, der passerer hinanden i modsat retning, umuligt kan enes om, hvad klokken nøjagtig er.

Fire togpassagerer, en i hver ende af hver vogn, enes om at synkronisere deres ure på nøjagtig samme tid. Når togvognene passerer hinanden, springer der mellem de to vogne en gnist, som afgiver et kort blink. Urene nulstilles af passagererne, når de observerer blinket. På vogn A vil de to passagerer, N1 og N2, modtage lyset på samme tid, og deres ure vil derfor blive stillet ens. Passagerne, N3 og N4, på vogn B vil også stille deres ure ens. Begge tog er jo inertialsystemer, hvor lyshastigheden er den samme i alle retninger. Problemet om samtidighed opstår, når passagererne på det ene tog sammenligner tiden med dem på det andet tog.

I det øjeblik lyset når N1 på A, og han nulstiller sit ur, vil N3 på B være længere bagud, således at lyset vil bruge længere tid til at nå hen til ham. N1 vil derfor påstå, at N3s ur må være bagefter hans eget. På samme måde vil N2, der sidder forrest i A, påstå, at N4s ur går foran, da N4 har bevæget sig hen mod lysgiveren og derfor har modtaget signalet tidligere. De to passagerer på toget A er altså uenige om, hvad tiden er på toget B: N1 mener, den går bagefter tiden på A, mens N2 mener, den går foran. Af nøjagtig de samme grunde vil passagererne i B mene, at deres ure er rigtigt indstillede, men hævde, at der er forskel på indstillingen af de to ure i A.

Begge grupper har ret ud fra hver deres synspunkt, fordi samtidighed ikke er et absolut begreb i relativitetsteorien. Passagererne på A oplever lysglimtet samtidig, men de må komme til den konklusion, at passagererne på B oplever det på forskellige tidspunkter. Generelt formuleres det i relativitetsteorien således: To begivenheder på forskellige steder, som anses for samtidige fra ét referencesystem (inertialsystem), vil fra et andet referencesystem være adskilt med et bestemt tidsinterval.

JøMad

449959.801.png

Ligesom tidens gang mister også begrebet samtidighed sin absolutte betydning i relativitetsteorien. To begivenheder, som finder sted på samme tid for én iagttager, er ikke nødvendigvis samtidige for en anden iagttager, der er i relativ bevægelse i forhold til den første. Det var Einsteins fortjeneste at forstå denne mangel på universel samtidighed.

Relativistisk energi, impuls og masse

Til fysikkens mest fundamentale begreber hører energi og impuls. Det skyldes, at disse størrelser er bevarede i alle isolerede fysiske processer. Einstein fandt formler for energi og impuls, der generaliserede de udtryk, Newton havde fundet. I den ikke-relativistiske fysik er også masserne af indgående legemer og partikler bevaret. Det er ikke tilfældet i relativitetsteorien.

Et legeme i hvile med massen m0 må efter Einstein tilskrives et energiindhold givet ved hans berømte formel:
E = m0c2.
Har legemet hastigheden v, ændres formlen til E = mc2, hvor den såkaldte relativistiske masse m er givet ved
m = m0γ = 59113.302.jpg

og altså afhænger af hastigheden. Ved hastigheder, der er små i forhold til lysets, reduceres udtrykket for E med god tilnærmelse til E = m0c2 + 1/2m0v2. Her er første led Einsteins udtryk for hvileenergien, mens andet led er Newtons udtryk for bevægelsesenergien. Ved større hastigheder kommer der korrektioner hertil.

Relativitetsteorien rummer den mulighed, at masse kan forvandles til energi og omvendt. Dette bekræftes dramatisk i specielt elementarpartikelfysiske eksperimenter, hvor partikler dannes og tilintetgøres i nøje overensstemmelse med Einsteins formler. Det er også omdannelse af masse til energi, der er basis for Solens energiproduktion i fusionsprocesser og for udnyttelsen af fissionsprocessen i kernereaktorer.

Tilsvarende ændres Newtons formel for impuls fra p = m0v til p = mv. Disse udtryk refererer til impulsens størrelse; den er rettelig en vektor med en retning givet ved retningen af partiklens hastighed.

Det følger af disse udtryk, at energi og impuls er forbundet ved formlen
E2 — (pc)2 = (m0c2)2.
E og p varierer begge med hastigheden, men højre side af ligningen er en konstant størrelse uafhængig af hastigheden.

Det er en følge af Maxwells teori, at en lysbølge har impuls og energi forbundet ved E = pc, og denne sammenhæng er fuldstændigt bekræftet eksperimentelt. Det følger heraf og af Einsteins formler, at lyset må tillægges hvilemassen 0 (nul). Det følger endvidere af formlerne, at for at accelerere et legeme med masse forskellig fra nul til en hastighed nær lysets kræves en meget stor energi, så stor, at lyshastigheden aldrig vil kunne nås: Der ville kræves uendelig megen energi, mere end hele Universet rummer. Lyshastigheden repræsenterer derfor en uigennemtrængelig mur. Men man kan komme tæt på. I LEP, den fælleseuropæiske elektron-positron-accelerator ved CERN, når elektronerne og deres antipartikler hastigheder, der er 99,9999999983% af lyshastigheden.

Invariante intervaller, rum-tid og lyskeglen

To begivenheder, A og B, som i et vist inertialsystem S har en tidsforskel Δt og en indbyrdes afstand Δl mellem sig, har i et andet inertialsystem S′ tidsforskellen Δt ′ og den indbyrdes afstand Δl′. I den ikke-relativistiske fysik vil de to afstande være forskellige, hvis inertialsystemerne har en indbyrdes hastighed, men de to tidsforskelle vil altid være ens. I relativitetsteorien er også tidsforskellene forskellige. Derimod er det såkaldte invariante interval Δs mellem begivenhederne, givet ved
Δs2 = (cΔt)2 — (Δl)2,
uafhængigt af inertialsystemet. Intervallet Δs indtager derved en afgørende matematisk rolle som en slags generaliseret form for afstand mellem begivenhederne, der ikke alene afhænger af den rumlige, men også af den tidslige forskel.

Denne repræsentation, hvor rumkoordinaterne og tidskoordinaten (ganget med lyshastigheden) optræder på lige fod i et firedimensionalt rum, kaldes rum-tiden eller Minkowski-rummet. En begivenhed er repræsenteret ved et punkt i Minkowski-rummet, og en partikels bevægelse ved en såkaldt verdenslinje, dvs. de punkter i rum-tiden, som angiver partiklens position til forskellige tider. Et lysglimt, der udbreder sig som en kuglebølge, følger lyskegler, mens partikler med masse har verdenslinjer, der altid forløber inden for lyskeglerne, da deres hastighed er mindre end lysets. Den tid, det tager for en observatør at færdes mellem to punkter (dvs. to begivenheder) på en verdenslinje, målt med observatørens eget ur, er egentiden, som er et mål for verdenslinjens længde. Observatører, som befinder sig i inertialsystemer og derfor ikke færdes på verdenslinjen, vil måle en længere tid mellem de to begivenheder pga. tidsforlængelsen. Et frit legeme vil altid bevæge sig langs den verdenslinje mellem to begivenheder, hvor legemets egentid er størst. En sådan bane kaldes en geodætisk linje.

Den almene relativitetsteori

Relativitetsteori. Ifølge den almene relativitetsteori medfører tilstedeværelsen af masse, impuls og energi i rummet, at den firedimensionale rum-tid bliver krummet. En genstand, som bevæger sig gennem rummet, vil følge rum-tidens krumning, som om den var en fri genstand upåvirket af gravitationskræfter fra omgivende masser. I Einsteins almene relativitetsteori forekommer der således ikke gravitationskræfter i newtonsk forstand; de er erstattet af den krumme rum-tid. Illustrationen (i tre dimensioner) indikerer, hvorledes rette linjer krummes omkring tilstedeværende masser; jo større masse, des større bliver krumningen omkring den.

Relativitetsteori. Ifølge den almene relativitetsteori medfører tilstedeværelsen af masse, impuls og energi i rummet, at den firedimensionale rum-tid bliver krummet. En genstand, som bevæger sig gennem rummet, vil følge rum-tidens krumning, som om den var en fri genstand upåvirket af gravitationskræfter fra omgivende masser. I Einsteins almene relativitetsteori forekommer der således ikke gravitationskræfter i newtonsk forstand; de er erstattet af den krumme rum-tid. Illustrationen (i tre dimensioner) indikerer, hvorledes rette linjer krummes omkring tilstedeværende masser; jo større masse, des større bliver krumningen omkring den.

Einsteins almene relativitetsteori indtager en enestående særstilling i fysikkens historie. Den er en enkelt mands værk, som ikke primært var baseret på eksperimentelle eller observationelle udfordringer, men især på Einsteins filosofisk prægede krav til naturbeskrivelsen. Den er senere blevet bekræftet i ganske stor detalje. Satellitbaseret positionsbestemmelse med fx GPS er således kun mulig, når de meget præcise ure i satellitterne løbende korrigeres, idet deres gang påvirkes både af deres fart og af deres placering i et lavere tyngdefelt end ved jordoverfladen. Uden denne korrektion ville ure på jordoverfladen og i satelitterne ikke gå synkront, hvilket er nødvendigt for en præcis positionsbestemmelse. Den almene relativitetsteori har øvet en dybtgående indflydelse på den fysiske tankebygning. Kvantefeltteorierne i elementarpartikelfysikkens standardmodel har matematiske træk dybt beslægtede med den almene relativitetsteori, men denne sidste er i modsætning til de første ikke umiddelbart forenelig med kvanteteorien, et forhold af afgørende betydning for interessen for strengteorien.

Den almene relativitetsteori giver en ændret forståelse af tyngdekræfterne i forhold til Newtons opfattelse. Det er et forhold, der kun spiller en meget lille rolle ved beskrivelsen af Solsystemet, men så meget desto større er betydningen for forståelsen af selve Universet og dets udviklingshistorie. Det er først med den almene relativitetsteori, at forskningsområdet kosmologi har fået et sundt teoretisk grundlag (se Universet). Særlig interesse knytter der sig til de løsninger til den almene relativitetsteori, der danner grundlaget for big-bang-kosmologien baseret på arbejder af A.A. Friedmann (1922), H.P. Robertson (1935) og den britiske matematiker Arthur G. Walker (1909-2001) (1936).

Teoriens opbygning baserer sig på to trin. I det første argumenterer Einstein for det såkaldte ækvivalensprincip og viser, at dets gyldighed medfører, at tyngdekræfter må forstås som krumning i rum-tidens geometri. I det andet skridt opstilles de såkaldte Einstein-ligninger, der udsiger, hvordan rum-tiden bliver krummet som følge af tilstedeværelse af masse, impuls og energi.

Lighed mellem træge og tunge masser

Relativitetsteori. Einsteins elevator er et tankeeksperiment, som illustrerer en konsekvens af ækvivalensprincippet i den generelle relativitetsteori. Ækvivalensprincippet fastslår, at fysiske fænomener i et accelereret koordinatsystem foregår, som om der eksisterer et tyngdefelt modsat rettet accelerationen. En person i en opad accelereret elevator opfatter sig selv som værende i hvile, men påvirket af et nedadrettet tyngdefelt. Dette fiktive tyngdefelt vil krumme en lysstråle på samme måde, som lyset afbøjes i et egentligt tyngdefelt, fx ved passage forbi Solen. For en iagttager, der ikke er accelereret, vil lysets bane være retlinjet.

Relativitetsteori. Einsteins elevator er et tankeeksperiment, som illustrerer en konsekvens af ækvivalensprincippet i den generelle relativitetsteori. Ækvivalensprincippet fastslår, at fysiske fænomener i et accelereret koordinatsystem foregår, som om der eksisterer et tyngdefelt modsat rettet accelerationen. En person i en opad accelereret elevator opfatter sig selv som værende i hvile, men påvirket af et nedadrettet tyngdefelt. Dette fiktive tyngdefelt vil krumme en lysstråle på samme måde, som lyset afbøjes i et egentligt tyngdefelt, fx ved passage forbi Solen. For en iagttager, der ikke er accelereret, vil lysets bane være retlinjet.

Den specielle relativitetsteori omhandler fysiske fænomeners og partiklers kinematik i inertialsystemer, men den tager ikke fuldt ud højde for accelererede systemer og gravitationskræfter. Udvidelsen af det specielle relativitetsprincip til et alment relativitetsprincip omfatter såvel accelererede referencesystemer som gravitationelle vekselvirkninger.

Som forudsætning for det almene relativitetsprincip ligger den observation, at der er lighed mellem legemers tunge og træge masser. Et legemes tunge masse måles ved massetiltrækningen i et gravitationsfelt, mens den træge masse måles ved den acceleration, legemet får, når det påvirkes af en kraft.

Siden Galileis tid er ligheden mellem den træge og tunge masse påvist med stadig øget nøjagtighed i talrige forsøg. R. Eötvös og hans medarbejdere (1889 og 1922) påviste overensstemmelse med en nøjagtighed på én del i 108. De seneste målinger fra 1960'erne af den amerikanske fysiker R.H. Dicke og den russiske fysiker Vladimir L. Braginskij har fundet overensstemmelse med en nøjagtighed på hhv. én del i 1011 og én del i 1012. Dermed er der faktisk tale om en af de mest nøjagtigt bestemte fysiske sammenhænge.

Det er med denne forudsætning ikke muligt ved gennemførelsen af mekaniske eksperimenter at skelne mellem et laboratorium accelereret gennem et frit fald i et gravitationsfelt og et lokalt inertialsystem. Dette udsagn kaldes det svage ækvivalensprincip. Det kan også formuleres således, at der er ækvivalens mellem gravitationskræfter og fiktive kræfter. Det er en konsekvens heraf, at en trækugle og en stålkugle falder lige hurtigt i det tomme rum, som allerede Galilei påviste eksperimentelt. For en iagttager, som bevæger sig sammen med de faldende kugler, vil det se ud, som om de svæver side om side; det er, som om man var i et inertialsystem. Det svage ækvivalensprincip medfører altså, at tyngdekraften ophæves lokalt i et frit faldende koordinatsystem, en såkaldt Einstein-elevator ; inden i "elevatoren" er fysikkens love som i et inertialsystem. Einstein indså, at dette forhold medfører, at gravitationskræfter kan opfattes som rum-tid-geometriens afvigelse fra en flad geometri; gravitationskræfter er knyttet til rum-tid-krumning.

En direkte følge af det svage ækvivalensprincip er den såkaldte gravitationelle rødforskydning. Et lyskvant (foton), der sendes op fra fx jordoverfladen, vil ligesom en sten, der kastes, miste bevægelsesenergi og derfor observeres rødforskudt, dvs. med længere bølgelængde, af en iagttager højere oppe. Skønt effekten er umådelig lille, kan den observeres med god nøjagtighed ved udnyttelse af Mössbauer-effekten. Nært knyttet hertil er Einsteins forudsigelse af afbøjningen af lysstråler, der passerer nær Solen, en effekt, der sensationelt blev bekræftet ved den totale solformørkelse i 1919; se nedenfor.

Einstein generaliserede det svage ækvivalensprincip til et udsagn om, at et hvilket som helst ikke for udstrakt, frit faldende og ikke roterende laboratorium ikke kan skelnes fra et lokalt inertialsystem ved udførelsen af ethvert fysisk eksperiment. Dette kaldes det stærke ækvivalensprincip eller det almene relativitetsprincip. Man kan derfor overføre fysikkens love fra den specielle relativitetsteori til et sådant lokalt inertialsystem, når gravitationsfeltet kan betragtes som homogent i det lokale område.

Det krumme rum

Den matematiske beskrivelse af overgangen fra rum-tid-koordinaterne i et inertialsystem til koordinaterne i et accelereret system viser sig at svare til en koordinattransformation mellem to rum med forskellig geometri. I den specielle relativitetsteori blev begivenheder og lys- og partikelbevægelser beskrevet i det firedimensionale Minkowski-rum, hvor frie legemer vil bevæge sig langs geodætiske linjer, der er karakteriseret ved, at egentiden er størst mulig. Disse geodæter har den egenskab, der er kendt fra euklidisk geometri, at hvis to geodæter er parallelle et vist sted, vil de aldrig skære hinanden. Man siger derfor i analogi med vore vante forestillinger, at rum-tiden i den specielle relativitetsteori er flad.

Relativitetsteori. Riemann var den første, der matematisk beskrev et krumt rum. Han benyttede sig af, at en vektor (en pil), som parallelforskydes langs en lukket vej i rummet, kun vil returnere til udgangspositionen med uændret retning, hvis rummet er fladt; hvis rummet er krumt, vil pilen være drejet. Figuren illustrerer denne drejning på den krumme jordoverflade: En pil, som starter i punktet A ved ækvator og peger mod øst, flyttes først 90° langs ækvator til punktet B, derefter uden drejning langs en meridian til nordpolen C og derfra tilbage til udgangspunktet A langs en anden meridian. Den peger nu mod nord; den parallelforskydning, pilen har gennemgået, har således medført en retningsændring. Det er Riemanns matematiske argument for, at den har været parallelforskudt på en krum flade. Matematisk definerer Riemann en krumningstensor, der holder rede på såvel vejens orientering som vektorens drejning.

Relativitetsteori. Riemann var den første, der matematisk beskrev et krumt rum. Han benyttede sig af, at en vektor (en pil), som parallelforskydes langs en lukket vej i rummet, kun vil returnere til udgangspositionen med uændret retning, hvis rummet er fladt; hvis rummet er krumt, vil pilen være drejet. Figuren illustrerer denne drejning på den krumme jordoverflade: En pil, som starter i punktet A ved ækvator og peger mod øst, flyttes først 90° langs ækvator til punktet B, derefter uden drejning langs en meridian til nordpolen C og derfra tilbage til udgangspunktet A langs en anden meridian. Den peger nu mod nord; den parallelforskydning, pilen har gennemgået, har således medført en retningsændring. Det er Riemanns matematiske argument for, at den har været parallelforskudt på en krum flade. Matematisk definerer Riemann en krumningstensor, der holder rede på såvel vejens orientering som vektorens drejning.

I accelererede systemer og systemer med gravitationskræfter vil legemer også bevæge sig ad baner, således at egentiden bliver størst mulig, dvs. langs geodæter. Men parallelpostulatet gælder ikke længere; geodæter, som er parallelle et sted, kan godt skære hinanden et andet sted. Rum-tiden er ikke længere flad, men krum.

Den matematiske beskrivelse af krumme geometrier blev udviklet af den tyske matematiker B. Riemann i 1860'erne (se riemannsk geometri). Hans formalisme viste sig at passe perfekt til Einsteins behov ved udviklingen af den almene relativitetsteori. Riemann indså, at en og samme geometri kan beskrives på mange måder ved forskellige mere eller mindre tilfældige valg af koordinater, og han forstod, hvilke egenskaber i denne flertydighed der var ægte geometriske. Tilsvarende er det netop kun disse såkaldt invariante egenskaber, der har en bestemt fysisk betydning i den almene relativitetsteori.

For at forstå den krumme rum-tid kan man i et vist omfang drage en parallel til den krumme jordoverflade. Den korteste afstand mellem to punkter på jordoverfladen (en geodæt) er et udsnit af en storcirkel gennem de to punkter, fx en meridian. Alle meridianer er parallelle ved ækvator, men skærer hinanden ved polerne. Parallelpostulatet gælder derfor ikke på den krumme jordoverflade, ligesom det heller ikke gælder i den krumme rum-tid. Geodæter er de mindst krumme linjer, der kan konstrueres på en kugleoverflade, og samtidig den korteste linje mellem to punkter. En partikel under påvirkning af gravitation vil i rum-tiden følge en geodæt, som tilsvarende er den mindst krumme bane i det riemannske rum. Der er dog den formelle forskel, at mens geodæten på jordoverfladen er den korteste afstand, så er geodæten i rum-tiden den længste afstand pga. den særlige definition af afstande i rum-tiden, hvor tiden spiller den specielle rolle, at egentiden er størst langs en geodæt.

På jordoverfladen vil et tilstrækkeligt lille areal være tilnærmelsesvist fladt, og på tilsvarende måde vil det i den krumme rum-tid på ethvert sted og til enhver tid inden for et tilstrækkeligt lille område være muligt at finde et tilnærmelsesvist fladt segment (den tidligere nævnte, frit faldende Einstein-elevator). I dette segment vil der findes lokale inertialsystemer, hvor alle naturlove antager samme form som i den specielle relativitetsteori. Det er argumentet for det stærke ækvivalensprincip.

Einstein-ligningerne

I Newtons teori for tyngdekræfterne har disse som kilder de forskellige himmellegemers masser. Men allerede ifølge den specielle relativitetsteori er masse et begreb, der afhænger af iagttageren og i virkeligheden ikke kan adskilles fra energi og impuls. Ved udviklingen af den almene relativitetsteori søgte Einstein derfor en ligning, der fastlægger, hvorledes rummets geometri, herunder dets krumning, er relateret til forekomsten af energi og impuls. Resultatet er Einstein-ligningerne.

En fuldstændig beskrivelse af strømning af energi og impuls på et bestemt sted til en bestemt tid kræver fastlæggelse af den såkaldte energi-impuls-tensor. Til beskrivelse af generelle rums krumning havde Riemann angivet den såkaldte Riemann-tensor (også kaldet Riemann-Christoffel-krumningstensor), men den kan ikke umiddelbart knyttes til energi-impuls-tensoren. I stedet påviste Einstein, hvorledes man ud fra Riemann-tensoren kan konstruere den såkaldte Einstein-tensor med egenskaber, der netop svarer til energi-impuls-tensoren.

Einstein-ligningerne siger da, at Einstein-tensoren er proportional med energi-impuls-tensoren. Einstein viste, at hvis proportionalitetskonstanten netop er Newtons gravitationskonstant (se gravitation) multipliceret med 8π, så opstår Newtons teori for gravitationen som et naturligt specialtilfælde af den almene relativitetsteori.

Nogle år senere følte Einstein sig foranlediget til at påpege, at et andet led, det såkaldte kosmologiske led med sin egen kosmologiske konstant, i princippet kunne tillades. Dette led indfører en art frastødning, der modvirker massetiltrækningen mellem Universets galakser, og tillader i princippet kosmologiske løsninger, som svarer til et statisk, tidsuafhængigt Univers. Kort tid efter viste astronomiske observationer imidlertid, at alle galakser fjerner sig fra hinanden, idet Universet udvider sig (se Hubbles lov), og Einstein fortrød bittert sin bemærkning og anså den for "sit livs største fejltagelse". Observationer viser, at den kosmologiske konstant må være meget tæt på nul, men den tiltrækker sig i moderne fysik en central opmærksomhed af mange forskellige grunde.

I den ikke-relativistiske grænse og for svage gravitationsfelter stemmer Einstein-ligningerne altså overens med Newtons love. Men der er en væsensforskel. I Newtons teori virker fx gravitationen fra Solen på en planet momentant over store afstande. Det er allerede uforeneligt med den specielle relativitetsteori, ifølge hvilken intet signal kan bevæge sig hurtigere end lyset. I den almene relativitetsteori er der ingen gravitationskraft, men Solens masse deformerer rum-tidens geometri og indfører en krumning, hvis eventuelle ændringer forplanter sig med lyshastigheden. Planeten oplever krumningen på det sted, den befinder sig, og den vil bevæge sig "frit" langs en geodætisk linje i den krumme geometri.

Schwarzschilds løsning

Schwarzschilds løsning af Einstein-ligningerne repræsenterer rum-tid-geometrien omkring et meget kompakt, massivt legeme, der ikke roterer. Denne løsning giver bevægelser af en prøvepartikel, der i store afstande fra den tunge masse til forveksling ligner bevægelsen i et Newtonsk gravitationsfelt. Men går man tættere på, optræder ejendommelige forskelle. Der er således en bestemt mindste afstand fra legemet, Schwarzschild-afstanden eller den såkaldte horisont, inden for hvilken man ikke kan se noget, når man står langt væk. Endnu mærkeligere forekommer det, at inden for horisonten er gravitationen så stor, at end ikke lyset kan undslippe derfra. Teorien forudsiger med andre ord eksistensen af såkaldte sorte huller, der nu (1999) med en til vished grænsende sandsynlighed er observeret af astronomerne.

For almindelige stjerner er Schwarzschild-afstanden kun få kilometer fra stjernens massemidtpunkt, så stjernens masse i det væsentlige er uden for denne afstand, og horisonten opstår derfor ikke. Men slutresultatet af en supernovaeksplosion af en meget tung stjerne menes at give anledning til dannelse af en så kompakt masse, at Schwarzschild-afstanden er større end dens radius, så der dannes et sort hul.

Sorte huller har en række egenskaber af største betydning for den moderne teoretiske fysik. Den israelsk-amerikanske fysiker Jacob D. Bekenstein (1947-2015) og S. Hawking har analyseret disse objekter matematisk og påvist, at de besidder en karakteristisk temperatur og entropi. Hawking har endvidere vist, hvordan de via kvantefænomener må udsende en stråling, Hawkingstråling, der netop svarer til denne temperatur. Det er et forhold af minimal betydning for virkelige sorte huller, men afgørende for den indre konsistens af almen relativitetsteori og kvanteteori. Det synes nemlig, som om al information ved dannelsen af et sort hul for stedse går tabt — i modstrid med et afgørende princip i kvanteteorien. Hawkingstrålingen rummer tilsyneladende næsten ingen information, men nyere forskning i strengteorien menes at rumme en begyndende afklaring af disse mysterier.

Bekræftelser og konsekvenser af den almene relativitetsteori

En af de tidligste bekræftelser på den almene relativitetsteori kom i 1919, da det ved en total solformørkelse var muligt at måle afbøjningen af lys fra fjerne stjerner i Solens gravitationsfelt. Ifølge Newtons teorier ville afbøjningen være 0,87 buesekunder, men ifølge Einsteins dobbelt så stor. To uafhængige målinger viste med stor sikkerhed, at Einstein havde ret. Lysafbøjningen i gravitationsfelter er siden observeret for lys fra en meget fjern kvasar. Ved at passere gravitationsfeltet fra en galakse, der virker som en linse, dannes flere billeder af kvasaren .

En anden tidlig triumf for den almene relativitetsteori var, at den var i stand til med stor nøjagtighed at forklare Merkurs periheldrejning. Merkur er den af Solsystemets planeter, der er nærmest Solen. Dens bane er en ellipse med relativt stor excentricitet, hvis hovedakse (og dermed periheliet) roterer langsomt omkring Solen pga. påvirkning fra de øvrige planeter. Allerede fra 1800-t. var fænomenet kendt og delvis forklaret med Newtons mekanik. Men en yderligere rotation på 43 buesekunder per hundrede år havde man ingen forklaring på, før den almene relativitetsteori gav netop dette resultat.

Gravitationsfeltet omkring en statisk fordeling af masser er også statisk, men sættes masserne i bevægelse, vil rum-tid-geometrien ændres. Modsat Newtons teori, hvor feltændringen sker momentant helt ud i det uendelig fjerne, vil ændringen ifølge relativitetsteorien kun forplante sig med lysets hastighed: Der vil opstå en gravitationel bølge. Disse bølgers egenskaber kan studeres i detaljer i den matematiske formulering af teorien. De bærer energi og impuls og vil efter kvanteteorien optræde som kvanter, gravitoner, med et spin på 2. Gravitoner er aldrig observeret direkte, men der er planer om at bygge detektorer til at opfange dem med, fx ude i verdensrummet. Der foreligger imidlertid en indirekte indikation for eksistensen af gravitationsbølger, idet et legeme ved at udsende gravitationsstråling vil miste energi. Ved at måle omløbstiden for en dobbeltstjerne, hvor den ene var en pulsar, kunne R. Hulse og J. Taylor i 1978 påvise en systematisk variation, som var i overensstemmelse med Einsteins forudsigelse om tab af energi ved udsendelse af gravitoner.

Den almene relativitetsteori har ændret vores opfattelser af rum og tid endnu mere end den specielle relativitetsteori. Det er ikke længere muligt at opfatte rum og tid som et passivt medium, hvori fysiske fænomener udspiller sig. Tværtimod deltager rum-tid-geometrien selv i denne udvikling — rum og tid er blevet dynamiske størrelser. Som sådanne skal de med næsten sikkerhed behandles af kvantefysikken. Det betyder, at rum og tid, som vi normalt oplever dem, må anses for klassiske tilnærmelser til noget meget mere kompliceret. Forskningen heri er intens og har siden 1980'erne i meget høj grad koncentreret sig om studiet af strengteorien, der blandt mange lovende egenskaber synes at rumme en løsning.

Referér til denne tekst ved at skrive:
Carl F. Wandel, Jens Lyng Petersen, Ove W. Dietrich: relativitetsteori i Den Store Danske, Gyldendal. Hentet 20. oktober 2017 fra http://denstoredanske.dk/index.php?sideId=150053