Redaktion og opdatering af indholdet på denstoredanske.dk er indstillet pr. 24. august 2017. Artikler og andet indhold er tilgængeligt i den form, der var gældende ved redaktionens afslutning.

  • Artiklens indhold er godkendt af redaktionen

Grækenland i oldtiden - matematik

Oprindelig forfatter CMTai Seneste forfatter Redaktionen

Grækenland i oldtiden. Den oldgræske matematik var frem for alt geometri og beviser. Her vises det geometriske bevis for, hvad vi i dag ville kalde den algebraiske identitet  (a+b)(a−b) = a2−b2.

Grækenland i oldtiden. Den oldgræske matematik var frem for alt geometri og beviser. Her vises det geometriske bevis for, hvad vi i dag ville kalde den algebraiske identitet (a+b)(a−b) = a2−b2.

Matematik og filosofi er græske ord; mathematike omfattede de fire fag aritmetik, geometri, astronomi og musik; disse fire fag, quadrivium, blev i middelalderens lærde skole i Europa en fast del af undervisningen. Den græske matematik og filosofi begyndte samme sted på samme tid, i Lilleasien i begyndelsen af 500-t. f.Kr.; det var de joniske naturfilosoffer, der udviklede begge dele.

Thales fra Milet, en af de syv vise, er det første kendte navn, og med ham anslås grundtonen: Græsk matematik er geometri og beviser; mange matematiske sandheder var kendt af babyloniere og egyptere, men den deduktive metode er en tidlig græsk opfindelse. Foruden helt elementære sætninger om trekanter og cirkler viste Thales, hvordan en pyramides højde kan beregnes ud fra dens skygge, altså en primitiv trigonometri. Men det gælder om ham som om de andre tidlige navne: Intet er gemt af deres værker, alt er fortalt os på anden hånd flere hundrede år efter.

Den kendteste af dem, Pythagoras, rejste ca. 550 f.Kr. fra øen Samos til Kroton i Syditalien og grundlagde en skole for teoretisk matematik, altså ikke for teknikere og købmænd, men for filosoffer med hang til indsigt i al tings natur. "Alt er tal", lød hans program, til dels bekræftet af moderne kemi og atomfysik; Pythagoras og hans elevers, især Archytas' arbejde med tal og talforhold i matematik og musik førte til, at Eudoxos et par århundreder senere opfandt den lære om proportioner, der er bevaret i Euklids Elementer, og som blev grundlaget for al videnskabelig matematik indtil 1800-t. Det stod nemlig klart, at tal ikke er nok: Pythagoræernes opdagelse af, at der findes linjestykker, der er inkommensurable, altså ikke kan måles med samme enhed, medførte den geometrisering af matematikken, som først i 1800-t. kunne forlades og erstattes med de reelle tal.

Annonce

Ca. 440 f.Kr. lå det matematiske landskab fast i form af Elementer, en samling af matematiske udsagn og beviser, på græsk kaldet theoremer, 'indsigter'. Den første kendte elementmager i Athen er Hippokrates fra Chios, men hans værk er ikke bevaret; først ca. 150 år senere samlede Euklid den ophobede viden i 13 "bøger" (kapitler). Euklid byggede sine Elementer på et system af aksiomer, ubeviselige forudsætninger, som bl.a. siger, at det altid er muligt 1) at trække en ret linje gennem to punkter og 2) at tegne en cirkel med en given radius og et givet punkt som centrum. Derfor bliver de eneste tilladte tegneredskaber lineal og passer, ikke fordi de giver det bedste resultat, men kun pga. aksiomerne. Euklid sagde dog ikke selv noget om redskaber; hans geometri er en ren tankeverden, hvor linjer trækkes, og vinkler afsættes som af en usynlig "hjælpende hånd", hvis de vel at mærke er mulige inden for systemet. Dermed var også grunden lagt til et af de mest langlivede studier, de tre "uløselige" problemer: cirklens kvadratur, terningens fordobling (deliske problem) og vinklens tredeling, som netop ikke kan løses udelukkende med passer og lineal. At kvadrere en given figur vil sige at konstruere et kvadrat med samme areal som figuren. Fordi der eksisterer inkommensurable linjestykker, undgik Euklid måling og udviklede i stedet "størrelseslæren" om, hvornår plane figurer er lige store, specielt hvilket kvadrat der er lig med et givet rektangel. Geometrisk algebra har man kaldt det med et moderne udtryk, fordi udsagnene kan "oversættes" til algebraiske identiteter. Et eksempel: (a+b) (ab) = a2b2, som læses: "To tals sum gange deres differens er lig med deres kvadraters differens", får i den geometriske algebra formen: "Hvis et linjestykke er delt på midten og i ulige store stykker, er det rektangel, der indesluttes af de ulige store stykker, plus kvadratet på stykket mellem delepunkterne lig med kvadratet på halvdelen".

Elementerne afsluttes med undersøgelser af et pythagoræisk emne, som især Theaitetos var optaget af: de platoniske legemer eller regulære polyedre, nemlig den firesidede pyramide, terningen, dobbeltpyramiden eller oktaedret, dodekaedret og ikosaedret. Om dem alle vises, at de kan indskrives i en kugle, og at der gælder konstante inkommensurable forhold mellem legemets kanter og kuglens diameter. For de to sidstnævnte spiller den ligesidede femkant en betydelig rolle i kraft af det forhold, der består mellem siden og diagonalen, det gyldne snit (som man begyndte at kalde det i 1800-t.).

Selvom Alexandria, hellenismens kulturcentrum, var hjemsted for Euklid og hans elever, heriblandt Eratosthenes, er det dog på Sicilien uden for pythagoræernes kreds, man møder oldtidens ubestridt største matematiske begavelse: Archimedes. Blandt hans arbejder fremhæves bestemmelsen af indhold og tyngdepunkt i krumlinjede flader og legemer: Om parablens kvadratur, Om kuglen og cylinderen, Om legemer, der flyder (Archimedes' lov). Alle hans resultater bevises ved rent geometriske betragtninger med brug af exhaustionsmetoden. Han tilnærmede forholdet mellem cirklens omkreds og diameter til 22/7.

Den tredje af de store hellenistiske geometre, hvis værker er bevaret, er Apollonios fra Perge. Hans keglesnitslære bringer geometrien frem til dens antikke højdepunkt og er for al eftertid et klassisk hovedværk. Efter Apollonios er der kun bagateller og kommentarer tilbage fra fx Heron, Menelaos og Pappos. Et par begavede undtagelser er Diofant, der ikke dyrkede geometri, men så at sige opfandt algebraen før araberne, og Ptolemaios, hvis Matematiske System er bedre kendt som Almagest, den store lærebog i trigonometrisk astronomi, som det ptolemæiske verdensbillede var indrettet efter i 1500 år indtil Kopernikus og Kepler.

Læs videre om medicin i oldtidens Grækenland eller læs om Grækenland i oldtiden generelt.

Referér til denne tekst ved at skrive:
Chr. Marinus Taisbak: Grækenland i oldtiden - matematik i Den Store Danske, Gyldendal. Hentet 23. april 2019 fra http://denstoredanske.dk/index.php?sideId=86390